Выбор читателей
Популярные статьи
Теоретическая механика - это наука, в которой изучаются общие законы механического движения и механического взаимодействия материальных тел
Механическим движением называется перемещение тела по отношению к другому телу, происходящее в пространстве и во времени.
Механическим взаимодействием называется такое взаимодействие материальных тел, которое изменяет характер их механического движения.
Статика - это раздел теоретической механики, в котором изучаются методы преобразования систем сил в эквивалентные системы и устанавливаются условия равновесия сил, приложенных к твердому телу.
Кинематика - это раздел теоретической механики, в котором изучаетсядвижение материальных тел в пространстве с геометрической точки зрения, независимо от действующих на них сил.
Динамика - это раздел механики, в котором изучается движение материальных тел в пространстве в зависимости от действующих на них сил.
Объекты изучения в теоретической механике:
материальная точка,
система материальных точек,
Абсолютно твердое тело.
Абсолютное пространство и абсолютное время независимы одно от другого. Абсолютное пространство - трехмерное, однородное, неподвижное евклидово пространство. Абсолютное время - течет от прошлого к будущему непрерывно, оно однородно, одинаково во всех точках пространства и не зависит от движения материи.
Кинематика - это раздел механики, в котором изучаются геометрические свойства движения тел без учета их инертности (т.е. массы) и действующих на них сил
Для определения положения движущегося тела (или точки) с тем телом, по отношению к которому изучается движение данного тела, жестко, связывают какую-нибудь систему координат, которая вместе с телом образует систему отсчета.
Основная задача кинематики состоит в том, чтобы, зная закон движения данного тела (точки), определить все кинематические величины, характеризующие его движение (скорость и ускорение).
Должно быть известно:
Траектория движения точки;
Начало и направление отсчета;
Закон движения точки по заданной траектории в форме (1.1)
Уравнения (1.2) – уравнения движения точки М.
Уравнение траектории точки М можно получить, исключив параметр времени « t » из уравнений (1.2)
(1.3) Связь между координатным и векторным способами задания движения точки (1.4) |
Связь между координатным и естественным способами задания движения точки
Определить траекторию точки, исключив время из уравнений (1.2);
-- найти закон движения точки по траектории (воспользоваться выражением для дифференциала дуги)
После интегрирования получим закон движения точки по заданной траектории:
Связь между координатным и векторным способами задания движения точки определяется уравнением (1.4)
Пусть в момент времени t положение точки определяется радиусом-вектором , а в момент времени t 1 – радиусом-вектором , тогда за промежуток времени точка совершит перемещение .
|
(1.5) средняя скорость точки, направлен вектор также как и вектор |
Скорость точки в данный момент времени
Чтобы получить скорость точки в данный момент времени, необходимо совершить предельный переход
(1.6)
(1.7)
Вектор скорости точки в данный момент времени равен первой производной от радиуса-вектора по времени и направлен по касательной к траектории в данной точке.
(единица измерения ¾ м/с, км/час)
Вектор среднего ускорения имеет то же направление, что и вектор Δ v , то есть, направлен в сторону вогнутости траектории.
Вектор ускорения точки в данный момент времени равен первой производной от вектора скорости или второй производной от радиуса-вектора точки по времени.
(еденица измерения - )
Как располагается вектор по отношению к траектории точки?
При прямолинейном движении вектор направлен вдоль прямой, по которой движется точка. Если траекторией точки является плоская кривая, то вектор ускорения , также как и вектор ср лежит в плоскости этой кривой и направлен в сторону ее вогнутости. Если траектория не является плоской кривой, то вектор ср будет направлен в сторону вогнутости траектории и будет лежать в плоскости, проходящей через касательную к траектории в точке М и прямую, параллельную касательной в соседней точке М 1 . В пределе, когда точка М 1 стремится к М эта плоскость занимает положение так называемой соприкасающейся плоскости. Следовательно, в общем случае вектор ускорения лежит в соприкасающейся плоскости и направлен в сторону вогнутости кривой.
СодержаниеОпределение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям ее движения
Дано: Уравнения движения точки: x = 12 sin(πt/6)
,
см; y = 6 cos 2 (πt/6)
,
см.
Установить вид ее траектории и для момента времени t = 1 с найти положение точки на траектории, ее скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории.
Дано:
t = 2 с; r 1 = 2 см, R 1 = 4 см; r 2 = 6 см, R 2 = 8 см; r 3 = 12 см, R 3 = 16 см; s 5 = t 3 - 6t (см).
Определить в момент времени t = 2 скорости точек A, C; угловое ускорение колеса 3; ускорение точки B и ускорение рейки 4.
Дано:
R 1 , R 2 , L, AB, ω 1 .
Найти: ω 2 .
Плоский механизм состоит из стержней 1, 2, 3, 4 и ползуна E. Стержни соединены с помощью цилиндрических шарниров. Точка D расположена в середине стержня AB.
Дано: ω 1 , ε 1 .
Найти: скорости V A , V B , V D и V E ; угловые скорости ω 2 , ω 3 и ω 4 ; ускорение a B ; угловое ускорение ε AB звена AB; положения мгновенных центров скоростей P 2 и P 3 звеньев 2 и 3 механизма.
Прямоугольная пластина вращается вокруг неподвижной оси по закону φ = 6 t 2 - 3 t 3 . Положительное направление отсчета угла φ показано на рисунках дуговой стрелкой. Ось вращения OO 1 лежит в плоскости пластины (пластина вращается в пространстве).
По пластине вдоль прямой BD движется точка M . Задан закон ее относительного движения, т. е. зависимость s = AM = 40(t - 2 t 3) - 40 (s - в сантиметрах, t - в секундах). Расстояние b = 20 см . На рисунке точка M показана в положении, при котором s = AM > 0 (при s < 0 точка M находится по другую сторону от точки A ).
Найти абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки M в момент времени t 1 = 1 с .
Груз D массой m, получив в точке A начальную скорость V 0 , движется в изогнутой трубе ABC, расположенной в вертикальной плоскости. На участке AB, длина которого l, на груз действует постоянная сила T(ее направление показано на рисунке) и сила R сопротивления среды (модуль этой силы R = μV 2 , вектор R направлен противоположно скорости V груза).
Груз, закончив движение на участке AB, в точке B трубы, не изменяя значения модуля своей скорости, переходит на участок BC. На участке BC на груз действует переменная сила F, проекция F x которой на ось x задана.
Считая груз материальной точкой, найти закон его движения на участке BC, т.е. x = f(t), где x = BD. Трением груза о трубу пренебречь.
Скачать решение задачи
Механическая система состоит из грузов 1 и 2, цилиндрического катка 3, двухступенчатых шкивов 4 и 5. Тела системы соединены нитями, намотанными на шкивы; участки нитей параллельны соответствующим плоскостям. Каток (сплошной однородный цилиндр) катится по опорной плоскости без скольжения. Радиусы ступеней шкивов 4 и 5 равны соответственно R 4 = 0,3 м, r 4 = 0,1 м, R 5 = 0,2 м, r 5 = 0,1 м. Массу каждого шкива считать равномерно распределенной по его внешнему ободу. Опорные плоскости грузов 1 и 2 шероховатые, коэффициент трения скольжения для каждого груза f = 0.1.
Под действием силы F, модуль которой изменяется по закону F = F(s), где s - перемещение точки ее приложения, система приходит в движение из состояния покоя. При движении системы на шкив 5 действуют силы сопротивления, момент которых относительно оси вращения постоянный и равен M 5 .
Определить значение угловой скорости шкива 4 в тот момент времени, когда перемещение s точки приложения силы F станет равным s 1 = 1,2 м.
Скачать решение задачи
Для механической системы определить линейное ускорение a 1 . Считать, что у блоков и катков массы распределены по наружному радиусу. Тросы и ремни считать невесомыми и нерастяжимыми; проскальзывание отсутствует. Трением качения и трением скольжения пренебречь.
Скачать решение задачи
Вертикальный вал AK, вращающийся равномерно с угловой скоростью ω = 10 с -1 , закреплен подпятником в точке A и цилиндрическим подшипником в точке D.
К валу жестко прикреплены невесомый стержень 1 длиной l 1 = 0,3 м, на свободном конце которого расположен груз массой m 1 = 4 кг, и однородный стержень 2 длиной l 2 = 0,6 м, имеющий массу m 2 = 8 кг. Оба стержня лежат в одной вертикальной плоскости. Точки прикрепления стержней к валу, а также углы α и β указаны в таблице. Размеры AB=BD=DE=EK=b, где b = 0,4 м. Груз принять за материальную точку.
Пренебрегая массой вала, определить реакции подпятника и подшипника.
В курсе рассматриваются: кинематика точки и твёрдого тела (причём с разных точек зрения предлагается рассмотреть проблему ориентации твердого тела), классические задачи динамики механических систем и динамики твердого тела, элементы небесной механики, движение систем переменного состава, теория удара, дифференциальные уравнения аналитической динамики.
В курсе представлены все традиционные разделы теоретической механики, однако особое внимание уделено рассмотрению наиболее содержательных и ценных для теории и приложений разделов динамики и методов аналитической механики; статика изучается как раздел динамики, а в разделе кинематики подробно вводятся необходимые для раздела динамики понятия и математический аппарат.
Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической механике. – 3-е изд. – М.: Физматлит, 2001.
Журавлёв В.Ф. Основы теоретической механики. – 2-е изд. – М.: Физматлит, 2001; 3-е изд. – М.: Физматлит, 2008.
Маркеев А.П. Теоретическая механика. – Москва – Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2007.
Курс рассчитан на студентов владеющих аппаратом аналитической геометрии и линейной алгебры в объеме программы первого курса технического вуза.
1. Кинематика точки
1.1. Задачи кинематики. Декартова система координат. Разложение вектора по ортонормированному базису. Радиус-вектор и координаты точки. Скорость и ускорение точки. Траектория движения.
1.2. Естественный трёхгранник. Разложение скорости и ускорения в осях естественного трехгранника (теорема Гюйгенса).
1.3. Криволинейные координаты точки, примеры: полярная, цилиндрическая и сферическая системы координат. Составляющие скорости и проекции ускорения на оси криволинейной системы координат.
2. Способы задания ориентации твердого тела
2.1. Твердое тело. Неподвижная и связанная с телом системы координат.
2.2. Ортогональные матрицы поворота и их свойства. Теорема Эйлера о конечном повороте.
2.3. Активная и пассивная точки зрения на ортогональное преобразование. Сложение поворотов.
2.4. Углы конечного вращения: углы Эйлера и "самолетные" углы. Выражение ортогональной матрицы через углы конечного вращения.
3. Пространственное движение твердого тела
3.1. Поступательное и вращательное движения твердого тела. Угловая скорость и угловое ускорение.
3.2. Распределение скоростей (формула Эйлера) и ускорений (формула Ривальса) точек твердого тела.
3.3. Кинематические инварианты. Кинематический винт. Мгновенная винтовая ось.
4. Плоскопараллельное движение
4.1. Понятие плоскопараллельного движения тела. Угловая скорость и угловое ускорение в случае плоскопараллельного движения. Мгновенный центр скоростей.
5. Сложное движение точки и твердого тела
5.1. Неподвижная и движущаяся системы координат. Абсолютное, относительное и переносное движения точки.
5.2. Теорема о сложении скоростей при сложном движении точки, относительная и переносная скорости точки. Теорема Кориолиса о сложении ускорений при сложном движении точки, относительное, переносное и кориолисово ускорения точки.
5.3. Абсолютные, относительные и переносные угловая скорость и угловое ускорение тела.
6. Движение твердого тела с неподвижной точкой (кватернионное изложение)
6.1. Понятие о комплексных и гиперкомплексных числах. Алгебра кватернионов. Кватернионное произведение. Сопряженный и обратный кватернион, норма и модуль.
6.2. Тригонометрическое представление единичного кватерниона. Кватернионный способ задания поворота тела. Теорема Эйлера о конечном повороте.
6.3. Связь между компонентами кватерниона в разных базисах. Сложение поворотов. Параметры Родрига-Гамильтона.
7. Экзаменационная работа
8. Основные понятия динамики.
8.1 Импульс, момент импульса (кинетический момент), кинетическая энергия.
8.2 Мощность сил, работа сил, потенциальная и полная энергия.
8.3 Центр масс (центр инерции) системы. Момент инерции системы относительно оси.
8.4 Моменты инерции относительно параллельных осей; теорема Гюйгенса–Штейнера.
8.5 Тензор и эллипсоид инерции. Главные оси инерции. Свойства осевых моментов инерции.
8.6 Вычисление момента импульса и кинетической энергии тела с помощью тензора инерции.
9. Основные теоремы динамики в инерциальных и неинерциальных системах отсчёта.
9.1 Теорема об изменении импульса системы в инерциальной системе отсчета. Теорема о движении центра масс.
9.2 Теорема об изменении момента импульса системы в инерциальной системе отсчета.
9.3 Теорема об изменении кинетической энергии системы в инерциальной системе отсчета.
9.4 Потенциальные, гироскопические и диссипативные силы.
9.5 Основные теоремы динамики в неинерциальных системах отсчета.
10. Движение твёрдого тела с неподвижной точкой по инерции.
10.1 Динамические уравнения Эйлера.
10.2 Случай Эйлера, первые интегралы динамических уравнений; перманентные вращения.
10.3 Интерпретации Пуансо и Маккулага.
10.4 Регулярная прецессия в случае динамической симметрии тела.
11. Движение тяжёлого твёрдого тела с неподвижной точкой.
11.1 Общая постановка задачи о движении тяжелого твердого тела вокруг.
неподвижной точки. Динамические уравнения Эйлера и их первые интегралы.
11.2 Качественный анализ движения твердого тела в случае Лагранжа.
11.3 Вынужденная регулярная прецессия динамически симметричного твердого тела.
11.4 Основная формула гироскопии.
11.5 Понятие об элементарной теории гироскопов.
12. Динамика точки в центральном поле.
12.1 Уравнение Бине.
12.2 Уравнение орбиты. Законы Кеплера.
12.3 Задача рассеяния.
12.4 Задача двух тел. Уравнения движения. Интеграл площадей, интеграл энергии, интеграл Лапласа.
13. Динамика систем переменного состава.
13.1 Основные понятия и теоремы об изменении основных динамических величин в системах переменного состава.
13.2 Движение материальной точки переменной массы.
13.3 Уравнения движения тела переменного состава.
14. Теория импульсивных движений.
14.1 Основные понятия и аксиомы теории импульсивных движений.
14.2 Теоремы об изменении основных динамических величин при импульсивном движении.
14.3 Импульсивное движение твёрдого тела.
14.4 Соударение двух твёрдых тел.
14.5 Теоремы Карно.
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
Перечень экзаменационных вопросов
Техническая механика – наука о механическом движении и взаимодействии материальных тел.
Механика является одной из самых древних наук. Термин «Механика» введен выдающимся философом древности Аристотелем.
Достижения ученых в области механики дают возможность решать сложные практические проблемы в области техники и по существу ни одно явление природы не может быть понято без уяснения его с механической стороны. И ни одно творение техники нельзя создать, не принимая в расчет те или иные механические закономерности.
Механическое движение – это изменение с течением времени взаимного положения в пространстве материальных тел или взаимного положения частей данного тела.
Механическое взаимодействие – это действия материальных тел друг на друга, в результате которых происходит изменение движения этих тел или изменение их формы (деформация).
Основные понятия:
Материальная точка – это тело, размерами которого в данных условиях можно пренебречь. Она обладает массой и способностью взаимодействовать с другими телами.
Механическая система – это совокупность материальных точек, положение и движение каждой из которых зависят от положения и движения других точек системы.
Абсолютно твердое тело (АТТ) – это тело, расстояние между любыми двумя точками которого всегда остается неизменным.
Теоретическая механика – это раздел механики, в котором изучаются законы движения тел и общие свойства этих движений.
Теоретическая механика состоит из трех разделов: статики, кинематики и динамики.
Статика рассматривает равновесие тел и их систем под действием сил.
Кинематика рассматривает общие геометрические свойства движения тел.
Динамика изучает движение тел под действием сил.
Задачи статики:
1. Преобразование систем сил, действующих на АТТ в системы им эквивалентные, т.е. приведение данной системы сил к простейшему виду.
2. Определение условий равновесия системы сил, действующих на АТТ.
Для решения этих задач используется два метода графический и аналитический.
Равновесие – это состояние покоя тела по отношению к другим телам.
Сила – это основная мера механического взаимодействия материальных тел. Является векторной величиной, т.е. Сила характеризуется тремя элементами:
Точкой приложения;
Линией действия (направлением);
Модулем (числовым значением).
Система сил – это совокупность всех сил действующих на рассматриваемое абсолютно твердое тело (АТТ)
Система сил называется сходящейся , если линии действия всех сил пересекаются в одной точке.
Система называется плоской , если линии действия всех сил лежат в одной плоскости, в противном случае пространственной.
Система сил называется параллельной , если линии действия всех сил параллельны друг другу.
Две системы сил называются эквивалентными , если одну систему сил действующих на абсолютно твердое тело можно заменить другой системой сил, не изменяя при этом состояния покоя или движения тела.
Уравновешенной или эквивалентной нулю называется система сил, под действием которой свободное АТТ может находится в покое.
Равнодействующей силой называется сила, действие которой на тело или материальную точку эквивалентно действию системы сил на это же тело.
Внешними силами
Сила, проложенная к телу в какой-либо одной его точке называется сосредоточенной .
Силы, действующие на все точки некоторого объема или поверхности называются распределенными .
Тело, которому никакие другие тела не препятствуют перемещению в любом направлении называется свободным.
Внешними силами называются силы, с которыми части данного тела действуют друг на друга.
При решении большинства задач статики требуется несвободное тело представить как свободное, что осуществляется с помощью принципа освобождаем о с т и, который формулируется так:
всякое несвободное тело можно рассматривать как свободное, если отбросить связи, заменив их реакциями.
В результате применения этого принципа получается тело, свободное от связей и находящееся под действием некоторой системы активных и реактивных сил.
Условия, при которых тело может находиться в равновесии, выводятся из нескольких основных положений, принимаемых без доказательств, но подтвержденных опытами, и называемых аксиомами статики. Основные аксиомы статики сформулированы английским ученым Ньютоном (1642-1727), и поэтому они названы его именем.
Аксиома I (аксиома инерции или первый закон Ньютона).
Всякое тело сохраняет свое состояние покоя или прямолинейного равномерного движения, пока какие-нибудь Силы не выведут его из этого состояния.
Способность тела сохранять свое состояние покоя или прямолинейного равномерного движения называется инерцией. На основании этой аксиомы состоянием равновесия считаем такое состояние, когда тело находится в покое или движется прямолинейно и равномерно (т. е. ПО инерции).
Аксиома II (аксиома взаимодействия или третий закон Ньютона).
Если одно тело действует на второе с некоторой силой, то второе тело одновременно действует на первое с силой, равной по модулю, ко противоположной по направлению.
Совокупность сил, приложенных к данному телу (или системе тел), называется системой сил. Сила действия какого-либо тела на данное тело и сила противодействия данного тела не представляют собой систему сил, так как они приложены к различным телам.
Если какая-нибудь система сил обладает таким свойством, что после приложения к свободному телу она не изменяет его состояние равновесия, то такая система сил называется уравновешенной.
Аксиома III (условие равновесия двух сил).
Для равновесия свободного твердого тела, находящегося под действием двух сил, необходимо и достаточно, чтобы эти силы были равны по модулю и действовали по одной прямой в противоположные стороны.
необходимым для равновесия двух сил. Это значит, что если система двух сил находится в равновесии, то эти силы должны быть равны по модулю и действовать по одной прямой в противоположные стороны.
Условие, сформулированное в этой аксиоме, является достаточным для равновесия двух сил. Это значит, что справедлива обратная формулировка аксиомы, а именно: если две силы равны по модулю и действуют по одной прямой в противоположные стороны, то такая система сил обязательно находится в равновесии.
В дальнейшем мы познакомимся с условием равновесия, которое будет необходимо, но не достаточно для равновесия.
Аксиома IV .
Равновесие твердого тела не нарушится, если к нему приложить или удалить систему уравновешенных сил.
Следствие из аксиом III и IV .
Равновесие твердого тела не нарушится от перенесения силы вдоль линии ее действия.
Аксиома параллелограмма. Эта аксиома формулируется так:
Равнодействующая двух сил, приложенных к телу в одной точке, равна по модулю и совпадает по направлению с диагональю параллелограмма, построенного на данных силах, и приложена в той же точке.
Связями называются тела, ограничивающие перемещение данного тела в пространстве. Сила, с которой тело действует на связь, называется давлением; сила, с которой связь действует на тело, называется реакцией. Согласно аксиоме взаимодействия реакция и давление по модулю равны и действуют по одной прямой в противоположные стороны. Реакция и давление приложены к различным телам. Внешние силы, действующие на тело, делятся на активные и реактивные. Активные силы стремятся перемещать тело, к которому они приложены, а реактивные силыпосредством связей препятствуют этому перемещению. Принципиальное отличие активных сил от реактивных заключается в том, что величина реактивных сил, вообще говоря, зависит от величины активных сил, но не наоборот. Активные силы часто называют
Направление реакций определяется тем, в каком направлении данная связь препятствует, перемещению тела. Правило для определения направления реакций можно сформулировать так:
направление реакции связи противоположно направлению перемещения, уничтожаемого данной связью.
1. Идеально гладкая плоскость
В этом случае реакция R направлена перпендикулярно опорной плоскости в сторону тела.
2. Идеально гладкая поверхность (рис. 16).
В этом случае реакция R направлена перпендикулярно к касательной плоскости t - t, т. е. по нормали к опорной поверхности в сторону тела.
3. Закрепленная точка или ребро угла (рис. 17, ребро В).
В этом случае реакция R в направлена по нормали к поверхности идеально-гладкого тела в сторону тела.
4. Гибкая связь (рис. 17).
Реакция Т гибкой связи направлена вдоль с в я з и . Из рис. 17 видно, что гибкая связь, перекинутая через блок, изменяет направление передаваемого усилия.
5. Идеально гладкий цилиндрический шарнир (рис. 17, шарнир А; рис. 18, подшипник D).
В этом случае заранее известно только, что реакция R проходит через ось шарнира и перпендикулярна к этой оси.
6. Идеально гладкий подпятник (рис. 18, подпятник А).
Подпятник можно рассматривать как сочетание цилиндрического шарнира и опорной плоскости. Поэтому будем
7. Идеально гладкий шаровой шарнир (рис. 19).
В этом случае заранее известно только, что реакция R проходит через центр шарнира.
8. Стержень, закрепленный двумя концами в идеально гладких шарнирах и нагруженный только по концам (рис. 18, стержень ВС).
В этом случае реакция стержня направлена вдоль стержня, так как, согласно аксиоме III, реакции шарниров В и С при равновесии стержня могут быть направлены только по линии ВС, т. е. вдоль стержня.
Сходящимися называют силы, линии действия которых пересекаются в одной точке.
В настоящей главе рассматриваются системы сходящихся сил, линии действия которых лежат в одной плоскости (плоские системы).
Представим, что на тело действует плоская система пяти сил, линии действия которых пересекаются в точке О (рис. 10, а). В § 2 было установлено, что сила-скользящий вектор . Поэтому все силы можно из точек их приложения перенести точку О пересечения линий их действия (рис. 10, б).
Таким образом, любую систему сходящихся сил, приложенных к различным точкам тела, можно заменить эквивалентной системой сил, приложенных к одной точке. Такую систему сил часто называют пучком сил .
Теоретическая механика – это раздел механики, в котором излагаются основные законы механического движения и механического взаимодействия материальных тел.
Теоретическая механика является наукой, в которой изучаются перемещения тел с течением времени (механические движения). Она служит базой других разделов механики (теория упругости, сопротивление материалов, теория пластичности, теория механизмов и машин, гидроаэродинамика) и многих технических дисциплин.
Механическое движение — это изменение с течением времени взаимного положения в пространстве материальных тел.
Механическое взаимодействие – это такое взаимодействие, в результате которого изменяется механическое движение или изменяется взаимное положение частей тела.
Статика — это раздел теоретической механики, в котором рассматриваются задачи на равновесие твердых тел и преобразования одной системы сил в другую, ей эквивалентную.
Кинематика — раздел теоретической механики, в котором рассматриваются общие геометрические свойства механического движения, как процесса, происходящего в пространстве и во времени. Движущиеся объекты рассматривают как геометрические точки или геометрические тела.
Динамика — это раздел теоретической механики, в котором изучаются механические движении материальных тел в зависимости от причин, их вызывающих.
Статьи по теме: | |
Функции и графики. Понятие функции. Способы задания функции Табличный способ задания функции
Что означают слова "задать функцию"? Они означают: объяснить всем... "Духота и трупный запах": детские воспоминания о Сталинградской битве Воспоминания участников сталинградской битвы читать
В начале 70-х годов поздней осенью, когда уже выпал первый снег, мне... Трубецкой дети. Биографии декабристок. Биография Екатерины
Ивановны Трубецкой
План Введение 1 Биография 2 Жена декабриста 3 Произведения,... |