Лекция 44. Делимость целых неотрицательных чисел

ДЕЛИМОСТЬ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

1. Отношение делимости на множестве неотрицательных чисел.

2. Свойства отношения делимости.

3. Делимость суммы, разности и произведения целых неотрицательных чисел.

Как известно, вычитание и деление на множестве нату­ральных чисел выполнимо не всегда. Вопрос о существовании разности натуральных чисел а и b решается просто - доста­точно установить (по записи чисел), что b < а. Для деления такого общего и простого признака нет. Поэтому в математической науке с давних пор пытались найти такие правила, которые позволили бы по записи числа а узнавать, делится оно на число b или нет, не выполняя непосредственного деле­ния а на b. В результате этих поисков были открыты не толь­ко некоторые признаки делимости, но и другие важные свой­ства чисел; познакомимся с некоторыми из них.

В начальных курсах математики Делимость натуральных чисел, как правило, не изучается, но многие факты из этого раздела математики неявно используются. Например, признак делимости суммы, разности и произведения на число тесно связаны с правилами деления суммы, разности и произведения на число, изучаемыми в начальных классах. В ряде курсов изучаются признаки делимости чисел на 2,3,5 и другие.

Вообще знания о делимости натуральных чисел расширя­ют представления о множестве натуральных чисел, позволяют глубже усвоить материал, связанный с делением натуральных чисел, применять полученные ранее знания о способах дока­зательства, о свойствах отношений и др.

Определение. Пусть даны натуральные числа а и b. Гово­рят, что число а делится на число b, если существует та­кое натуральное число q, что a = bq.

В этом случае число b называют делителем числа а, а число а - кратным числа b.

Например, 24 делится на 8, так как существует такое q =3, что 24 = 8·3. Можно сказать иначе: 8 - это делитель числа 24, а 24 есть кратное числа 8. В том случае, когда а делится на b, пишут: а: . b. Эту запись »« читают и так: «а кратно b». Заметим, что понятие «делитель данного числа» следует отличать от понятия «делитель», обозначающего то число, на которое делят. Например, если 18 делят на 5, то число 5 -делитель, но 5 не является делителем числа 18. Если 18 делят 6, то в этом случае понятия «делитель» и «делитель данного числа» совпадают.

Из определения отношения делимости и равенства а = 1·а, справедливого для любого натурального а, вытекает, что 1 является делителем любого натурального числа.

Выясним, сколько вообще делителей может быть у натурального числа а. Сначала рассмотрим следующую теорему.

Теорема 1. Делитель b данного числа а не превышает этого числа, т.е. если

а: . b, то b < а.

Доказательство. Так как а: . b, то существует такое q Є N,что a = bq u, значит, a-b = bq – b= b·(q - 1). Поскольку q Є N,тоq≥ 1. Тогда b· (q - 1) ≥ 0 и, следовательно, b ≤ а.

Из данной теоремы следует, что множество делителей данного числа конечно. Назовем, например, все делители числа 36. образуют конечное множество {1,2,3,4,6,9,12,18,36}.

В зависимости от числа делителей среди натуральных чисел различают простые и составные числа.

Определение. Простым числом называется такое нату­ральное число, которое имеет только два делителя - единицу и само это число.

Например, число 13- простое, поскольку, у него только два делителя: 1 и 13.

Определение. Составным числом называется такое нату­ральное число, которое имеет более двух делителей.

Так число 4 составное, у него три делителя: 1,2 и 4.

Число 1 не является ни простым, ни составным числом в связи с тем, что оно имеет только один делитель.

Чисел, кратных данному числу, можно назвать как угодно много, - их бесконечное множество. Так, числа, кратные 4, образуют бесконечный ряд: 4, 8, 12, 16, 20, 24, …, и все они могут быть получены по формуле а = 4q, где q принимает значения 1, 2, 3,....

Нам известно, что отношение делимости обладает рядом свойств, в частности, оно рефлексивно, антисимметрично и транзитивно. Теперь, имея определение отношения делимо­сти, мы можем доказать эти и другие его свойства.

Теорема 2. Отношение делимости рефлексивно, т.е. любое натуральное число делится само на себя.

Доказательство. Для любого натурального а справед­ливо равенство а = а·1. Так как 1 Є N, то, по определению отношения делимости, а: . а.

Теорема 3. Отношение делимости антисимметрично, т.е. если а: . b и а ≠ b,

то b ⁞͞ a.

Доказательство. Предположим противное, т.е. что b⁞ a. Но тогда а ≤ b, согласно теореме, рассмотренной выше.

По условию и а ⁞ . b и а ≠ b. Тогда, по той же теореме, b ≤ а.

Неравенства а ≤ b и b ≤ а будут справедливы лишь тогда, когда а = b, что противоречит условию теоремы. Следова­тельно, наше предположение неверное и теорема доказана.

Теорема 4 . Отношение делимости транзитивно, т.е. если а⁞ b и b⁞ с, то а⁞ с.

Доказательство. Так как а: . b, то существует такое нату­ральное число q, что a = bq, а так как b⁞ с, то существует такое натуральное число р, что b = ср. Но тогда имеем: a = bq = (cp)q = c(pq)- Число pq - натуральное. Значит, по определе­нию отношения делимости,

а⁞ с.

Теорема 5 (признак делимости суммы). Если каждое из натуральных чисел а 1 , а 2 , ...,а п делится на натуральное число b, то и их сумма a 1 + а 2 + ... + а n делится на это число.

Доказательство. Так как а 1 ⁞ b, то существует такое на­туральное число q 1 , что а 1 =bq 1 . Так как а 2 ⁞ b, то существует такое натуральное число q 2 , что а 2 = bq 2 . Продолжая рассуж­дения, получим, что если а n: . b, то существует такое натуральное число q n , что а п = bq n . Эти равенства позволяют преобразовать сумму а 1 + а 2 + ... +а п в сумму вида bq 1 + bq 2 + ... + bq n . Вынесем за скобки общий множитель b, а получившееся в скобках натуральное число q 1 + q 2 + ... + q n обозначим буквой q. Тогда a 1 + a 2 + ... + a n = b(q 1 + q 2 +... + q n) = bq, т.е. сумма а 1 + а 2 +… + а п оказалась представленной в виде произведения числа b и некоторого натурального числа q. А это значит, что сумма а 1 + а 2 +… + а п делится на b, что и требовалось доказать.

Например, не производя вычислений, можно сказать, что 175 + 360 + 915 делится на 5, так как на 5 делится каждое слагаемое этой суммы.

Теорема 6 (признак делимости разности). Если числа а 1 и а 2 делятся на b и а 1 ≥ а 2 , то их разность а 1 - а 2 делится на b.

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству признака делимости суммы.

Теорема 7 (признак делимости произведения). Если число а делится на b, то произведениe вида ах, где х Є N, делитcя на b.

Доказательство. Так как а: . b, то существует такое натуральное число q, что a = bq. Умножим обе части этого равенства на натуральное число х. Тогда ах=(bq)x, откуда на основании свойства ассоциативности умножения (bq)x = b(qx)и, значит, ax = b(qx), где qx - натуральное число. Согласно определению отношения делимости, ax: . b, что и требовалось доказать.

Из доказанной теоремы следует, что если один из множителей произведения делится на натуральное число b, то и все произведение делится на b. Например, произведение 24·976·305 делится на 12, так как на 12 делится множитель 24.

Рассмотрим еще три теоремы, связанные с делимостью суммы и произведения, которые часто используются при решении задач на делимость.

Теорема 8. Если в сумме одно слагаемое не делится на число b, а все остальные слагаемые делятся на число b, то вся cумма на число b не делится.

Доказательство. Пусть s = а 1 + а г + ... + а п +" с и известно, что а 1: . B, а 2: . B,

а 3: . b, … а n: . b, но с: . b. Докажем, что тогда s: . b

Предположим противное, т.е. Пусть s: . b. Преобразуем сумму s к виду с = s- (а 1 + а 2 +… + а n ). Так как s: . b по предположению, (а 1 + а 2 +… + а n ) : . b согласно признаку делимости суммы, то по теореме делимости разности с: .b

Пришли к противоречию с тем, что дано. Следовательно, s: . b.

Например, сумма 34 + 125 + 376 + 1024 на 2 не делится, так 34: .2,376: .2,124: .2, но 125 не делится на 2.

Теорема 9 . Если в произведении ab множитель a делится на натуральное число т, а множитель b делится на натуральное число n,то ab делится на mn.

Справедливость этого утверждения вытекает из теоремы о делимости произведения.

Теорема 10. Если произведение ас делится на произведе­ние bс, причем с - натуральное число, то и а делится на b.

Доказательство. Так как ас делится на bc, то существует такое натуральное число q, что ас = (bc)q, откуда ас = (bq)c и, следовательно, а = bq, т.е. а : .b.

Упражнения

1. Объясните, почему число 15 является делителем числа 60 и не является делителем числа 70.

2. Постройте граф отношения «быть делителем данного числа», заданного на множестве Х = {2, 6,. 12, 18, 24}. Как от­ражены на этом графе свойства данного отношения?

3. Известно, что число 24 - делитель числа 96, а число 96 -делитель числа 672. Докажите, что число 24 делитель числа 672, не выполняя деления.

4. Запишите множество делителей числа.

а) 24; 6)13; в) 1.

5 .На множестве X ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11; 12} задано отношение «иметь одно и то же число делителей». Является ли оно отношением эквивалентности?

6 .Постройте умозаключение, доказывающее, что:

а) число 19 является простым;

б) число 22 является составным.

7. Докажите или опровергните следующие утверждения:

а) Если сумма двух слагаемых делится на некоторое число, то и каждое слагаемое делится на это число.

б) Если одно из слагаемых суммы не делится на некоторое число, то и сумма не делится на это число.

в) Если ни одно слагаемое не делится на некоторое число, то и сумма не делится на это число.

г) Если одно из слагаемых суммы делится на некоторое число, а другое не делится на это число, то и сумма не делится на это число.

8. Верно ли, что:

а) а: . т и b: . n =>ab: .mn

б) а: .п и b: .n => ab: .n;

Пусть даны натуральные числа a и b . Говорят, что число a делится на число b , если существует такое натуральное число q , что a = bq .

В этом случае число b называют делителем числа а , а число а - кратным числа b .

Например, 24 делится на 8, так как существует такое q = 3, что 24 = 8*3. Можно сказать иначе: 8 - это делитель числа 24, а 24 есть кратное числа 8.

В случае, когда а делится на b , пишут: . Эту запись часто читают и так: «а кратно b ».

Заметим, что понятие «делитель данного число» следует отличать от понятия «делитель», обозначающего то число, на которое делят. Например, если 18 делят на 5, то число 5 - делитель, но 5 не является делителем числа 18. Если 18 делят на 6, то в случае понятия «делитель» и «делитель данного числа» совпадают.

Из определения отношения делимости и равенства а = 1*а , справедливого для любого натурального а, вытекает, 1 является делителем любого натурального числа.

Выясним, сколько вообще делителем может быть у натурального числа. Сначала рассмотрим следующую теорему.

Теорема. Делитель b данного числа а не превышает этого числа. Если , то .

Доказательство. Так как , то существует такое , что a = bq , значит, a - b = bq - b = b*(q - 1). Поскольку , то . Тогда и, следовательно, .

Из данной теоремы следует, что множество делителей данного числа конечно. Назовем, например, все делители числа 36. Они образуют конечное множество {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}.

Свойства делимости

Нам известно, что отношение делимости на множестве N обладает рядом свойств, в частности, оно рефлексивно, антисимметрично и транзитивно. Теперь, имея определение отношения делимости, мы можем доказать эти и другие его свойства.

Теорема. Отношение делимости рефлексивно, т.е. любое нату-ральное число делится само на себя.

Доказательство. Для любого натурального а справедливо ра-венство . Так как 1 е N, то, по определению отношения дели-мости, .

Теорема. Отношение делимости антисимметрично, т.е. если и , то .

Доказательство . Предположим противное, т. е. что . Но тог-да , согласно теореме, рассмотренной выше.

По условию и . Тогда, по той же теореме,.

Неравенства и будут справедливы лишь тогда, когда , что противоречит условию теоремы. Следовательно, наше предпо-ложение неверное и теорема доказана.

Теорема. Отношение делимости транзитивно, т.е. если и , то .

Доказательство. Так как, q, что а = bq, а так как , то существует такое натуральное число p , что . Но тогда имеем: . Число pq - натуральное. Значит, по определению отношения делимости,.

Теорема (признак делимости суммы). Если каждое из натураль-ных чисел а1 , а2 ..., ап делится на натуральное число b , то и их сумма а1 + а2 + ... + ап делится на это число.

Доказательство . Так как , то существует такое натураль-ное число что . Так как , то существует такое нату-ральное число , что . Продолжая рассуждения, получим, что если , то существует такое натуральное число , что . Эти равенства позволяют преобразовать сумму а1 + а2 + ... + ап в сумму вида bq1 + bq2 + ... + bqn. Вынесем за скобки общий множитель b, а получившееся в скобках натуральное число q1 + q2 + ... + qn обозначим буквой q . Тогда а1 + а2 + ... + ап = b(q1 + q2 + ... + qn) = bq , т.е. сумма а1 + а2 + ... + ап оказалась представленной в виде произведения числа b и некоторого натурального числа q. А это значит, что сумма а1 + а2 + ... + ап делится на b, что и требовалось доказать.

Например, не производя вычислений, можно сказать, что сумма 175 + 360 + 915 делится на 5, так как на 5 делится каждое слагаемое этой суммы.

Теорема (признак делимости разности). Если числа а1 и а2 делятся на b и , то их разность делится на b.

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству призна-ка делимости суммы.

Теорема (признак делимости произведения). Если число а де-лится на b, то произведение вида ах, где xÎ N, делится на b.

Доказательство . Так как , то существует такое натураль-ное число q, что . Умножим обе части этого равенства на нату-ральное число х. Тогда ах = (bq)x, откуда на основании свойства ассоциативности умножения (bq)x = b(qx) и, значит, ах = b(qx), где qx - натуральное число. Согласно определению отношения делимости, , что и требовалось доказать.

Из доказанной теоремы следует, что если один из множителей произведения делится на натуральное число b, то и все произведение делится на b.

Например, произведение 24

ДЕЛИМОСТЬ ЧИСЕЛ. ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ

Рассмотрим отношение делимости в кольце целых чисел. Говорят, что число a делится на b , существует такое целое число q , для которого a = qb.
Для отношения делимости справедливы следующие свойства.
Свойство 1. Если a делится на b и b делится на c , то a делится на c.
Свойство 2. Если a 1, … , a n делятся на b , то и a 1 + … + a n делится на b.

Свойство 3. Если a 1 делится на b 1, … , a n делится на b n , то и a 1…a n делится на b 1…b n .
Имеет место следующая теорема о делении с остатком.
Теорема. Для произвольных целого числа a и натурального числа b существуют единственные числа q и r такие, что a = qb + r и 0 r < b . Число q называется неполным частным, а число r – остатком.
Приведем два доказательства этой теоремы. Первое из книги .
Доказательство 1. Пусть сначала a 0. Будем выписывать одно за другим числа a, a – b, a - 2b, … до тех пор, пока не появится отрицательное число. Пусть последним из неотрицательных членов этой последовательности будет число a – qb. Обозначая его через r, мы имеем a = qb + r. Очевидно, что r < b (иначе число r – b = a – (q + 1)b было бы неотрицательным).
Пусть теперь a < 0. Рассуждая аналогично предыдущему, будем выписывать поледовательность чисел a, a + b, a + 2b, … до тех пор, пока не появится первое неотрицательное число r (легко проверить, что r < b ). Пусть r = a + q " b . Тогда, обозначая –q" через q , получаем a = qb + r. Что и требовалось доказать.
Докажем единственность, т. е., что из a = qb + r и a = q"b + r" следует q = q" и r = r" . В этом случае имеем равенство qb + r = q"b + r" , откуда r – r" = (q" – q )b, т. е. r – r" делится на b . Но |r – r" | < b , и равенство r – r" = (q" – q )b возможно только в случае r – r" = 0. Но тогда (q" – q )b = 0 и, следовательно, q" – q = 0.
Приведем другое доказательство с геометрической интерпретацией.
Доказательство 2. Заметим, что система промежутков [qb , (q + 1)b ), где q – целое, покрывает все множество целых чисел. Число a попадает в один и только один из этих промежутков, т. е. существует единственное q , для которого qb a < qb + b. Обозначим r = a – qb. Тогда будем иметь: a = qb + r и 0 r < b .
Теорему о делении с остатком можно использовать для нахождения наибольшего общего делителя НОД(a , b ) двух натуральных чисел a и b .

Напомним, что наибольшим общим делителем двух натуральных чисел a и b называется наибольшее из чисел, являющихся делителями a и b одновременно. Докажем, что такое число существует. Действительно, если c является делителем натурального числа a , то |c | a . Следовательно, у каждого натурального числа имеется конечное число делителей. Таким образом, число общих делителей двух натуральных чисел конечно и, значит, среди них есть наибольший элемент – наибольший общий делитель.

Заметим, что из равенства a = qb + r , где 0 r < b , следует, что каждый делитель чисел a и b является делителем чисел b и r и наоборот. Следовательно, НОД(a , b ) = НОД(b , r ). Если r отлично от нуля, то разделим b на r с остатком. Получим b = q 1r + r 1, где 0 r 1 < r , и НОД(b , r ) = НОД(r , r 1). Продолжая этот процесс деления, придем к ситуации, когда r k +1 = 0, т. е. r k – 1 делится на r k и, значит, НОД(a , b ) = НОД(b , r ) = НОД(r , r 1) = … = НОД(r k -1, r k ) = r k .
Этот метод нахождения наибольшего общего делителя содержится в "Началах" Евклида и называется алгоритмом Евклида.
Пример. Найти наибольший общий делитель чисел 168 и 70.
Имеем, 168 = 270 + 28, 70 = 228 + 14, 28 = 214. Таким образом, НОД(168, 70) = 14.
Числа a и b называются равноостаточными (при делении на c ), если равны их остатки.
Для отношения равноостаточности справедливы следующие свойства.

Свойство 1. a и b равноостаточны (при делении на c ) тогда и только тогда, когда a – b делится на c .

Доказательство очевидно.
Свойство 2. Если a 1, … , a n b 1, … , b n , то a 1 + … + a n и b 1 + … + b n также равноостаточны.

Доказательство очевидно.
Свойство 3. Если a 1, … , a n соответственно равноостаточны c b 1, … , b n , то a 1… a n и b 1… b n также равноостаточны.

Доказательство проведем индукцией по n . Для n =1 утверждение очевидно. Покажем его справедливость для двух сомножителей, т. е. для n =2. Имеем a 1a 2 – b 1b 2 = (a 1 – b 1)a 2 + b 1(a 2 – b 2). Поэтому, если a 1 – b 1 делится на c и a 2 – b 2 делится на c , то и a 1a 2 – b 1b 2 делится на c . Предположим, что утверждение верно для n – 1 и докажем, что оно верно для n . Представим произведения a 1… a n и b 1… b n в виде a 1… a n = (a 1… a n -1)an и b 1… b n = (b 1… b n -1)bn . По предположению индукции, a 1… a n -1 и b 1… b n -1 равноостаточны. Применяя доказанное утверждение для двух сомножителей, получаем, что числа (a 1… a n -1)an и (b 1… b n -1)bn равноостаточны.
Следствие. Если a и b равноостаточны, то a n и b n равноостаточны.

Заметим, что равноостаточность чисел a n и b n можно доказать и непосредственно, воспользовавшись формулой a n – b n = (a – b )(an - 1 + an -2b + … + abn -2 + bn -1).
Рассмотрим примеры решения задач на использование этих свойств.
Пример 1. Выяснить, делится ли на три число 1316–
Решение. Число 13 при делении на 3 равноостаточно с 1, следовательно, 1316 вравносостаточно с 116 = 1. Число 2 равноостаточно с –1, следовательно 225 с (-1)25 = -1. Число 5 равноостаточно с –1, следовательно, 515 равноостаточно с (-1)15 = -1. Таким образом, число 1316 – 225 515 равноостаточно с 1 – (-1)(-1) = 0, т. е. данное число делится на 3.
Пример 2. Доказать, что число 1110 – 1 делится на 100.
Решение. Имеем 1110 – 1 = 10(119 + 118+ … + 1). Число 11 при делении на 10 равноостаточно с 1. Поэтому сумма чисел, стоящих в скобке правой части равноостаточна с 1 + 1 + … + 1 = 10 и, следовательно, делится на 10. Таким образом, исходное число делится на 100.
Пример 3. Доказать, что при любом натуральном n число n 3 + 11n делится на 6.
Решение. 11n при делении на 6 равноостаточно с –n . Поэтому данное число равноостаточно с n 3 – n = n (n – 1) (n + 1). В правой части стоит произведение трех последовательных натуральных чисел (или 0). Одно из них обязательно четное, а другое делится на 3. Таким образом все произведение делится на 6.
Пример 4. Доказать, что число + делится на 7.
Решение. 2222 и –4 при делении на 7 равноостаточны, 5555 и 4 также равноостаточны. Поэтому + равноостаточно с -45555 + 42222 = -42222(43333 – 1) = -42222(641111 – 1) = (641110+…+1). Так как 63 делится на 7, то и данное число делится на 7.
Пример 5. Найти остаток от деления числа на 7.
Решение. Заметим, что 1000 при делении на 7 равноостаточно с –1. Поэтому равноостаточно с –10. Последующие слагаемые также равноостаточны с –10 и, значит, вся сумма равноостаточно с числом –100, которое, в свою очередь, равноостаточно с 5. Таким образом, искомый остаток равен 5.

Пример 6. Можно ли 2006 представить как разность квадратов двух натуральных чисел?

Ответ. Нет. Если бы 2006 = a 2 – b 2 = (a – b )(a + b ), то или a – b или a + b было бы четным числом. Но тогда и другое число было бы четным, а значит, a 2 – b 2 делилось бы на 4. Но 2006 не делится на 4.

Рассмотрим теперь некоторые признаки делимости.
1. Признак делимости на 2.
Число делится на 2, если число, образованное его последней цифрой в десятичной записи делится на 2.
2. Признак делимости на 4.
Число делится на 4, если число, образованное двумя последними цифрами в его десятичной записи, делится на 4.
Доказательство вытекает из того, что число 100 и его кратные делятся на 4.
3. Признак делимости на 5.
Число делится на 5, если его последняя цифра в десятичной записи 0 или 5.
4. Признак делимости на 3.
Число делится на 3, если сумма чисел, образованных его цифрами в десятичной записи делится на 3.
Доказательство. Число 10 равноостаточно с 1. Поэтому 100 равноостаточно с 1, 1000 равноостаточно с 1 и т. д. Таким образом, число a n …a 1a 0 = a 0 + a 110 +…+a n 10n равноостаточно с a 0+a 1+ … +a n .

Заметим, что мы доказали несколько больше, чем требовалось, а именно, мы доказали, что число дает при делении на три такой же остаток, что и сумма чисел, образованных цифрами этого числа в десятичной записи.

5. Признак делимости на 9.
Число делится на 9, если сумма чисел, образованных его цифрами в десятичной записи делится на 9.
Доказательство аналогично предыдущему.
6. Признак делимости на 8.
Число делится на 8, если число, образованное последними тремя цифрами в десятичной записи делится на 8.
Доказательство вытекает из того, что число 1000 и его кратные делятся на 8.
7. Признак делимости на 11.
Число делится на 11, если алгебраическая сумма чисел, образованных его цифрами в десятичной записи с чередующимися знаками делится на 11.
Доказательство. Число 10 равноостаточно с –1. Поэтому 100 равноостаточно с (-1)(-1) = 1, 1000 равноостаточно с –1 и т. д. Таким образом, число a n …a 1a 0= a 0 + a 110 +…+a n 10n равноостаточно с a 0 – a 1 + … + (-1)n a n .
В качестве примера рассмотрим число 3516282. Алгебраическая сумма его цифр равна 2 – 8 + 2 – 6 + 1 – 5 + 3 = -11. Таким образом, данное число делится на 11.
8. Объединенный признак делимости на 7, 11 и 13.
Число делится на 7, 11 или 13, если алгебраическая сумма чисел, образованных тройками цифр данного числа в десятичной записи с чередующимися знаками делится соответственно на 7, 11 или 13.
Доказательство. Заметим, что произведение чисел 7, 11 и 13 равно 1001. Поэтому число 1000 при делении на 7, 11 или 13 равноостаточно с –1. Далее поступаем как и в признаке делимости на 11.
В качестве примера рассмотрим числоЧисло 295 – 623 + 42 = -286 делится на 11 и 13, но не делится на 7. Следовательно, и данное число делится на 11 и 13, но не делится на 7.
9. Признак делимости на 37.
Число делится на 37, если сумма чисел, образованных тройками цифр данного числа в десятичной записи делится соответственно на 37.
Доказательство вытекает из того, что число 1000 при делении на 37 равноостаточно с 1.
Заметим также, что трехзначные числа 111, 222, …, 999 делятся на 37.
Легко видеть, что числа, делятся на 37.

Воспользуемся свойствами делимости для решения следующей задачи, предлагавшейся на творческом конкурсе учителей математики г. Москвы в 2004 г.
Задача. На доске написано число.... Разобьем его десятичную запись произвольным образом на два числа и сложим их. С полученными числами проделаем аналогичную операцию и так до тех пор пока не получим однозначное число. Какие однозначные числа можно получить таким образом?
Решение. Пусть десятичная запись данного числа разбита на числа x и y. Тогда исходное число имеет вид x 10...0 + y , а число, полученное в результате указанной операции равно x + y . Рассмотрим разность этих чисел: (x 10...0 + y ) - (x + y ) = 9...9x. Так как эта разность делится на 9, то исходное и полученное число имеют одинаковые остатки при делении на 9. Следовательно, каждый раз, при выполнении указанной операции этот остаток не изменяется. Непосредственная проверка показывает, что остаток от деления на 9 исходного числа равен 2. Значит, в результате указанных операций можно получить только число 2.

Упражнения

1. На какую цифру оканчивается число: а) 99999; б) 3999; в) 71000; г) 3377 + 7733?

2. Докажите, что произведение любых трех последовательных натуральных чисел делится на 6.

3. Докажите, что произведение любых пяти последовательных натуральных чисел делится на 120.

4. Найдите все натуральные числа n > 1, для которых n 3 – 3 делится на n – 1.

5. Докажите, что для любого натурального n число n 3 + 2n делится на 3.

6. Докажите, что для любого натурального n число n 5 + 4n делится на 5.

7. Докажите, что для любого натурального n число n 2 + 1 не делится на 3.

8. Докажите, что для любого натурального n число n 3 + 2 не делится на 9.

9. Докажите, что для любого четного натурального n число n 3 – 4n делится на 48.

10. Докажите, что для любого нечетного натурального n число n 6 – n 4 – n 2 + 1 делится на 128.

11. Докажите, что при любых целых a и b число a 2 + 9ab + b 2 делится на 11.

12. Докажите, что если a 2 + 9ab + b 2 делится на 11, то число a 2 – b 2 делится на 11.

13. Докажите, что если 56a = 65b , то число a + b составное.

14. Докажите, что если число 3n + 2m делится на 23, то и число 17n + 19m делится на 23.

15. Докажите, что число 31974 + 51974 делится на 13.

16. Докажите, что число 2110 – 1 делится на 2200.

17. Докажите, что для любого натурального n число n 2 – 3n + 5 не делится на 121.

18. Пусть S (n ) – сумма цифр в десятичной записи числа n . Найдите все натуральные n , для которых выполняется равенство n + S (n ) + S (S (n )) = 1993.

Литература
1. Воробьев делимости. – М.: Наука, 1980.

2. Математические досуги. – М.: Мир, 1972.

3. , Фомин математические кружки. – Киров, 1994.
4. Горбачев олимпиадных задач по математике. – М.: МЦНМО, 2004.
5. Кордемский смекалка. – М.: Наука, 1991.
6. Московские математические олимпиады 1993 – 2005 г. Под редакцией. – М.: МЦНМО, 2006.

7. Приглашение в теорию чисел. – М.: Наука, 1980.
8. и др. Избранные задачи и теоремы элементарной математики. Часть 1, арифметика и алгебра. – М – Л.: Гос. изд. техн.-теор. литературы, 1950.

Говорят, что целое число a делится на целое число b, отличное от 0, если такое целое число с, определенное однозначно, что a=b*c.

Свойства: евклид лемма арифметика позиционный

• 1) Отношение делимости рефлексивно, т.е. . Действительно, число 1, а=а*1
• 2) Отношение делимости транзитивно, т.е. если

Из этого следует, что a=(c*k)*t=c*(k*t)=c*m

А это значит, что ас

• 3) Если аb, то (-a)b, (-a)(-b), a(-b)
• 4) Если ac и bc, то (ab)c

a=c*t, b=c*k (ab)=c*tc*k=c*(tk)(ab)c

НО: обратное утверждение неверно.

• 5) Если ab и cZ (произвольное число), то (a*c)b
• 6) Если каждое из чисел a1, a2…an делится на b, то (r1a1+…+rnan)b, где r1,…,rnZ
• 7) Если ac, b неc, то (a+b)нес

Пусть (a+b)=t и tc, t-a=b это противоречит условию.

• 8) 0на любое число, 0
• 9) Всякое целое число1, т.к. всякое число можно записать в виде а=1*а
• 10) На 0 делить нельзя: а=0*с, если а0, то это равенство неверно; если а=0, то имеем 0=0*с, сZ - в этом случае нарушается условие единственности определения с.
• 11) Если ab,то. a=b*c, где b,cZ

Теорема о делении с остатком

Разделить целое число а на целое число b0, это значит найти такие целые числа q и r, что a=bq+r, 0

Теорема: в кольце целых чисел всегда возможно выполнение деления с остатком и причем единственным образом.

Доказательство:

1) Существование:

Рассмотрим целые числа кратные b. Это числа -2b,-b,b,2b… и пусть bq-последнее кратное b, не превышающее число а, тогда оно является наибольшим среди записанных кратных. В этом случае b(q+1)>a. Получили:

bqa

Пусть a-bq=r. Тогда получим: a=bq+r, причем 0r<

Это доказательство проходит для случая b>0.

Теперь пусть b<0,тогда (-b)>0.

Тогда a=(-b)*q+r, a=b*(-q)+r, где 0r<-b, -b=, где b<0, 0r<

Таким образом, деление с остатком возможно при любых а и b0

2) Единственность:

Предположим, что это не так:

a=bq1+r1 и a=bq2+r2;

b(q1-q2)=r2-r1; где 0r1,r2<;

Где 0r2-r1<, r2>r1.

Равенство возможно, если, =>q1=q2, r1=r2.

Следовательно, деление с остатком однозначно: q-неполное частное, r-остаток.

Материалом этой статьи начинается теория делимости целых чисел . Здесь мы введем понятие делимости и укажем принятые термины и обозначения. Это нам позволит перечислить и обосновать основные свойства делимости.

Навигация по странице.

Понятие делимости

Понятие делимости – это одно из основных понятий арифметики и теории чисел. Мы будем говорить о делимости и в частных случаях - о делимости . Итак, дадим представление о делимости на множестве целых чисел.

Целое число a делится на целое число b , которое отлично от нуля, если существует такое целое число (обозначим его q ), что справедливо равенство a=b·q . В этом случае также говорят, что b делит a . При этом целое число b называется делителем числа a , целое число a называется кратным числа b (для получения более детальной информации о делителях и кратных обращайтесь к статье делители и кратные), а целое число q называют частным .

Если целое число a делится на целое число b в указанном выше смысле, то можно сказать, что a делится на b нацело . Слово «нацело» в этом случае дополнительно подчеркивает, что частное от деления целого числа a на целое число b является целым числом.

В некоторых случаях для данных целых чисел a и b не существует такого целого числа q , при котором справедливо равенство a=b·q . В таких случаях говорят, что целое число a не делится на целое число b (при этом имеется в виду, что a не делится на b нацело). Однако в этих случаях прибегают к .

Разберемся с понятием делимости на примерах.

Любое целое число a делится на число a , на число −a , a , на единицу и на число −1 .

Докажем это свойство делимости.

Для любого целого числа a справедливы равенства a=a·1 и a=1·a , из которых следует, что a делится на a , причем частное равно единице, и что a делится на 1 , причем частное равно a . Для любого целого числа a также справедливы равенства a=(−a)·(−1) и a=(−1)·(−a) , из которых следует делимость a на число, противоположное числу a , а также делимость a на минус единицу.

Отметим, что свойство делимости целого числа a на себя называют свойством рефлексивности.

Следующее свойство делимости утверждает, что нуль делится на любое целое число b .

Действительно, так как 0=b·0 для любого целого числа b , то нуль делится на любое целое число.

В частности, нуль делится и на нуль. Это подтверждает равенство 0=0·q , где q – любое целое число. Из этого равенства вытекает, что частным от деления нуля на нуль является любое целое число.

Также нужно отметить, что на 0 не делится никакое другое целое число a , отличное нуля. Поясним это. Если бы нуль делил целое число a , отличное от нуля, то должно было бы быть справедливо равенство a=0·q , где q – некоторое целое число, а последнее равенство возможно только при a=0 .

Если целое число a делится на целое число b и a меньше модуля числа b , то a равно нулю. В буквенном виде это свойство делимости записывается так: если ab и , то a=0 .

Доказательство.

Так как a делится на b , то существует целое число q , при котором верно равенство a=b·q . Тогда должно быть справедливо и равенство , а в силу должно быть справедливо и равенство вида . Если q не равно нулю, то , откуда следует, что . Учитывая полученное неравенство, из равенства следует, что . Но это противоречит условию . Таким образом, q может быть равно только нулю, при этом получим a=b·q=b·0=0 , что и требовалось доказать.

Если целое число a отлично от нуля и делится на целое число b , то модуль числа a не меньше модуля числа b . То есть, если a≠0 и ab , то . Это свойство делимости непосредственно вытекает из предыдущего.

Делителями единицы являются только целые числа 1 и −1 .

Во-первых, покажем, что единица делится на 1 и на −1 . Это следует из равенств 1=1·1 и 1=(−1)·(−1) .

Осталось доказать, что никакое другое целое число не является делителем единицы.

Предположим, что целое число b , отличное от 1 и −1 , является делителем единицы. Так как единица делится на b , то в силу предыдущего свойства делимости должно выполняться неравенство , которое равносильно неравенству . Этому неравенству удовлетворяют только три целых числа: 1 , 0 , и −1 . Так как мы приняли, что b отлично от 1 и −1 , то остается лишь b=0 . Но b=0 не может быть делителем единицы (что мы показали при описании второго свойства делимости). Этим доказано, что никакие числа, отличные от 1 и −1 , не являются делителями единицы.

Чтобы целое число a делилось на целое число b необходимо и достаточно, чтобы модуль числа a делился на модуль числа b .

Докажем сначала необходимость.

Пусть a делится на b , тогда существует такое целое число q , что a=b·q . Тогда . Так как является целым числом, то из равенства следует делимость модуля числа a на модуль числа b .

Теперь достаточность.

Пусть модуль числа a делится на модуль числа b , тогда существует такое целое число q , что . Если числа a и b положительные, то справедливо равенство a=b·q , которое доказывает делимость a на b . Если a и b отрицательные, то верно равенство −a=(−b)·q , которое можно переписать как a=b·q . Если a – отрицательное число, а b – положительное, то имеем −a=b·q , это равенство равносильно равенству a=b·(−q) . Если a – положительное, а b – отрицательное, то имеем a=(−b)·q , и a=b·(−q) . Так как и q и −q являются целыми числами, то полученные равенства доказывают, что a делится на b .

Следствие 1.

Если целое число a делится на целое число b , то a также делится на число −b , противоположное числу b .

Следствие 2.

Если целое число a делится на целое число b , то и −a делится на b .

Важность только что рассмотренного свойства делимости сложно переоценить - теорию делимости можно описывать на множестве целых положительных чисел, а это свойства делимости распространяет ее и на целые отрицательные числа.

Делимость обладает свойством транзитивности: если целое число a делится на некоторое целое число m , а число m в свою очередь делится на некоторое целое число b , то a делится на b . То есть, если am и mb , то ab .

Приведем доказательство этого свойства делимости.

Так как a делится на m , то существует некоторое целое число a 1 такое, что a=m·a 1 . Аналогично, так как m делится на b , то существует некоторое целое число m 1 такое, что m=b·m 1 . Тогда a=m·a 1 =(b·m 1)·a 1 =b·(m 1 ·a 1) . Так как произведение двух целых чисел является целым числом, то m 1 ·a 1 - это некоторое целое число. Обозначив его q , приходим к равенству a=b·q , которое доказывает рассматриваемое свойство делимости.

Делимость обладает свойством антисимметричности, то есть, если a делится на b и одновременно b делится на a , то равны либо целые числа a и b , либо числа a и −b .

Из делимости a на b и b на a можно говорить о существовании целых чисел q 1 и q 2 таких, что a=b·q 1 и b=a·q 2 . Подставив во второе равенство b·q 1 вместо a , или подставив в первое равенство a·q 2 вместо b , получим, что q 1 ·q 2 =1 , а учитывая, что q 1 и q 2 – целые, это возможно лишь при q 1 =q 2 =1 или при q 1 =q 2 =−1 . Отсюда следует, что a=b или a=−b (или, что то же самое, b=a или b=−a ).

Для любого целого и отличного от нуля числа b найдется такое целое число a , не равное b , которое делится на b .

Таким числом будет любое из чисел a=b·q , где q – любое целое число, не равное единице. Можно переходить к следующему свойству делимости.

Если каждое из двух целых слагаемых a и b делится на целое число c , то сумма a+b также делится на c .

Так как a и b делятся на c , то можно записать a=c·q 1 и b=c·q 2 . Тогда a+b=c·q 1 +c·q 2 =c·(q 1 +q 2) (последний переход возможен в силу ). Так как сумма двух целых чисел является целым числом, то равенство a+b=c·(q 1 +q 2) доказывает делимость суммы a+b на c .

Это свойство можно распространить на сумму трех, четырех и большего количества слагаемых.

Если еще вспомнить, что вычитание из целого числа a целого числа b представляет собой сложение числа a с числом −b (смотрите ), то данное свойство делимости справедливо и для разности чисел. Например, если целые числа a и b делятся на c , то разность a−b также делится на с .

Если известно, что в равенстве вида k+l+…+n=p+q+…+s все члены, кроме какого-то одного, делятся на некоторое целое число b , то и этот один член делится на b .

Допустим, этим членом является p (мы можем взять любой из членов равенства, что не повлияет на рассуждения). Тогда p=k+l+…+n−q−…−s . Выражение, получившееся в правой части равенства, делится на b в силу предыдущего свойства. Следовательно, число p также делится на b .

Если целое число a делится на целое число b , то произведение a·k , где k – произвольное целое число, делится на b .

Так как a делится на b , то справедливо равенство a=b·q , где q – некоторое целое число. Тогда a·k=(b·q)·k=b·(q·k) (последний переход осуществлен в силу ). Так как произведение двух целых чисел есть целое число, то равенство a·k=b·(q·k) доказывает делимость произведения a·k на b .

Следствие: если целое число a делится на целое число b , то произведение a·k 1 ·k 2 ·…·k n , где k 1 , k 2 , …, k n – некоторые целые числа, делится на b .

Если целые числа a и b делятся на c , то сумма произведений a·u и b·v вида a·u+b·v , где u и v – произвольные целые числа, делится на c .

Доказательство этого свойства делимости аналогично двум предыдущим. Из условия имеем a=c·q 1 и b=c·q 2 . Тогда a·u+b·v=(c·q 1)·u+(c·q 2)·v=c·(q 1 ·u+q 2 ·v) . Так как сумма q 1 ·u+q 2 ·v является целым числом, то равенство вида a·u+b·v=c·(q 1 ·u+q 2 ·v) доказывает, что a·u+b·v делится на c .

На этом закончим обзор основных свойств делимости.

Список литературы.

• Виленкин Н.Я. и др. Математика. 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений.
• Виноградов И.М. Основы теории чисел.
• Михелович Ш.Х. Теория чисел.
• Куликов Л.Я. и др. Сборник задач по алгебре и теории чисел: Учебное пособие для студентов физ.-мат. специальностей педагогических институтов.