Непрерывные дроби и их применение в электротехнике. Непрерывная дробь. Свойства и примеры

Сокращение с помощью разложения в непрерывную дробь

Подходящие дроби. Приближение вещественных чисел

Литература: 1. Виноградов И.М. Элементы высшей математики.

Часть третья. Основы теории чисел. Учебник для вузов.

М.: Высш. шк. 1999. – с. 335 – 340.

Грибанов В.У. Сборник упражнений по теории чисел.

– М.: Просвещение, 1964.

Шнеперман Л.Б. Сборник задач по алгебре и теории

чисел: Учебное пособие. – СПб.: Изд. «Лань»,2008.- 224с.

Краткие сведения из теории

Если - обыкновенная несократимая дробь, правильная или неправильная, то с помощью алгоритма Евклида можно эту дробь представить в виде:

a = bq 0 + a 1 ,

b = a 1 q 1 + a 2 ,

a 1 = a 2 q 2 + a 3 ,

…………….

a n-2 = a n-1 q n-1 + a n ,

a n-1 = a n q n .

Здесь q 0 , q 1 , q 2 , q 3 ,…, q n – неполные частные;

a 1 , a 2 ,a 3 ,…., a n - остатки.

Правую часть такого разложения можно представить в виде:

= q 0 +

…………

+ ,

Выражение, написанное в правой части, называется конечной непрерывной или цепной дробью.

Кратко написанное равенство можно записать так:

= (q 0 , q 1 , q 2 , q 3 ,…, q n)

Дроби = , = q 0 + , = q 0 + ,…… называются подходящими. Числитель и знаменатель этих дробей можно вычислить по рекуррентным формулам:

P -2 = 0; Q -2 =1: P -1 = 1; Q -1 = 0;

при k≥0; P k = q k P k -1 + P k -2 ; Q k = q k Q k -1 + Q k -2 . (1)

По определению P n = a , Q n = b.

Процесс вычислений удобно оформить в виде таблицы:

Между подходящими дробями и самой дробью имеют место соотношения:

< < < ….. < < …… < < <

Для оценки погрешности при замене дроби подходящей дробью , будем применять следующую формулу:

‌‌‌ - .

Пример. Заменить дробь = подходящейдробью с погрешностью0,001.

Разложим дробь с помощью алгоритма Евклида:

Если возьмем для замены дробь , то погрешность замены будет

0,006, что более заданной 0,001, поэтому дробь не подходит.

Берем дробь для которой погрешность 0,0003 < 0,001.

Пример. По данной конечной непрерывной дроби найти соответствующую обыкновенную дробь. Пусть = (2; 1; 1; 3; 1; 2).

Решение. По соответствующим значениям q k , используя рекуррентные формулы, определим соответствующие значения числителя и знаменателя подходящих дробей P k , Q k . При k=n получим P n = a , Q n =b .

k = 0; P 0 = q 0 P -1 + P -2 = 2×1 + 0 = 2; Q 0 = q 0 Q -1 + Q -2 = 2×0 + 1 = 1;

k = 1; P 1 = q 1 P 0 + P -1 = 1×2 + 1 = 3; Q 1 = q 1 Q 0 + Q -1 = 1×1 + 0 = 1;

k = 2; P 2 = q 2 P 1 + P 0 = 1×3 + 2 = 5; Q 2 = q 2 Q 1 + Q 0 = 1×1 + 1 = 2;

k = 3; P 3 = q 3 P 2 + P 1 = 3×5 + 3 = 18; Q 3 = q 3 Q 2 + Q 1 = 3×2 + 1 = 7;

k = 4; P 4 = q 4 P 3 + P 2 = 1×18 + 5 = 23; Q 4 = q 4 Q 3 + Q 2 = 1×7 + 2 = 9;

k = 5; P 5 = q 5 P 4 + P 3 = 2×23 + 18 = 64; Q 5 = q 5 Q 4 + Q 3 = 2×9 + 7 = 25.

Ответ: = .

Пример. Пусть дана дробь . Используя алгоритм Евклида разложения в непрерывную дробь, сократить эту дробь.

Получили 525 = 231 2 +63;

231 = 63 + 42;

63 = 42 1 + 21;

42 = 21 2. Имеем НОД (525;231)=21.

Полученное разложение позволяет сделать сокращенную запись

= (2; 3; 1; 2). Найдем для этого разложения подходящие дроби, используя формулы (1).

Часто для непрерывных дробей применяется более компактное обозначение x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 + … .

Числа x 1 y 1 = x 1 y 1 , x 1 y 1 + x 2 y 2 = x 1 y 1 + x 2 y 2 , x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 , … называются подходящими дробями данной непрерывной дроби. Если последовательность подходящих дробей неограниченно приближается к некоторому числу, то говорят, что бесконечная непрерывная дробь сходится к этому числу. Точнее, неограниченное приближение числовой последовательности a 1 a 2 … к числу a означает, что, какое бы маленькое положительное число ε мы бы ни взяли, все элементы последовательности, начиная с некоторого номера, будут находиться от числа a на расстоянии меньшем, чем ε . Сходимость последовательности к числу принято обозначать так: lim s → ∞ a s = a .

Мы не станем углубляться в интереснейшую проблему исследования сходимости непрерывных дробей. Вместо этого поставим перед собой задачу алгоритмического вычисления последовательности подходящих дробей для данной непрерывной дроби. Глядя на эту последовательность, вычисленную на компьютере, можно строить гипотезы о сходимости непрерывной дроби.

Можно представлять себе подходящую дробь как функцию, определённую на пространстве последовательностей числовых пар: f ⁡ x 1 y 1 x 2 y 2 … x n y n = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 + … + x n y n . Было бы неплохо, чтобы эта функция оказалась индуктивной или нашлось бы её индуктивное расширение.

Другой пример: 1 1 + 1 1 + 1 1 + … Предположив, что эта дробь сходится к числу a , найдём это число. Для этого заметим, что a = 1 1 + a (проверьте!). У этого уравнения два решения, из которых годится положительное a = 5 − 1 2 . Между прочим, a = 1 φ = φ − 1 = 0,61803398874989… , где φ - число Фидия из главы 9. «Числа Фибоначчи » . Сама же непрерывная дробь имеет самое прямое отношение к числам Фибоначчи: они уютно расположились в числителях и знаменателях подходящих дробей 1 , 1 2 , 2 3 , 3 5 , 5 8 , 8 13 , … .

Следует заметить, что способ рассуждений, при помощи которого найдено правильное значение непрерывной дроби, содержит существенный изъян. Рассуждая точно так же, мы уже нашли в разделе «Способы приближённого вычисления числа π » «значение» бесконечной суммы 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − … = 1 2 . Странно, что сумма целых чисел оказалась дробным числом. Формула для суммы бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем − 1 ведёт к тому же результату: S = 1 1 − − 1 = 1 2 . Впрочем, не будем забывать, что формула суммы бесконечной геометрической прогрессии применяется лишь при знаменателях, строго меньших единицы по модулю.

Укажем и ещё более странный результат, опять подтверждаемый, если можно так выразиться, формулой суммы бесконечной геометрической прогрессии: S = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + … = 1 + 2 ⁢ 1 + 2 + 4 + 8 + … = 1 + 2 ⁢ S , откуда S = − 1 , то есть сумма положительных слагаемых оказалась отрицательной! Всё дело в том, что поиск суммы производился в предположении о её существовании. Для полноты картины следовало бы рассмотреть и другой случай, когда сумма не существует, но тогда мы не получим никакого результата.

Весьма важное в математике число, e = 2,718281828459045… , имеет много названий: основание натуральных логарифмов , число Непера , число Эйлера . Невозможно перечислить ситуации, где в математике возникает это число, которое, к тому же, служит вечным напоминанием о дне рождения Л. Н. Толстого . Обычно e определяют при помощи второго замечательного предела

Как и число π , число Непера имеет несколько красивых представлений через непрерывные дроби: e − 2 = 1 1 + 1 2 1 + 1 3 1 + 1 4 1 + … = 2 2 + 3 3 + 4 4 + 5 5 + … = 1 1 + 1 2 + 1 1 + 1 1 + 1 4 + 1 1 + 1 1 + 1 6 + 1 1 + 1 1 + 1 8 + 1 1 + 1 1 + 1 10 + …

Читателям, заинтересовавшимся непрерывными дробями, мы рекомендуем брошюру .

НЕПРЕРЫВНЫЕ ДРОБИ. Последовательность, каждый член которой является обычной дробью, порождает непрерывную (или цепную) дробь, если ее второй член прибавить к первому, а каждую дробь, начиная с третьей, прибавить к знаменателю предыдущей дроби.

Например, последовательность 1, 1/2, 2/3, 3/4,..., n /(n + 1),... порождает непрерывную дробь

где многоточие в конце указывает на то, что процесс продолжается бесконечно. В свою очередь непрерывная дробь порождает другую последовательность дробей, называемых подходящими. В нашем примере первая, вторая, третья и четвертая подходящие дроби равны

Их можно построить по простому правилу из последовательности неполных частных 1, 1/2, 2/3, 3/4,.... Прежде всего выпишем первую и вторую подходящие дроби 1/1 и 3/2. Третья подходящая дробь равна (2Ч 1 + 3Ч 3)/(2Ч 1 + 3Ч 2) или 11/8, ее числитель равен сумме произведений числителей первой и второй подходящих дробей, умноженных соответственно на числитель и знаменатель третьего неполного частного, а знаменатель равен сумме произведений знаменателей первого и второго неполных частных, умноженных соответственно на числитель и знаменатель третьего неполного частного. Четвертая подходящая дробь получается аналогично из четвертого неполного частного 3/4 и второй и третьей подходящих дробей: (3Ч 3 + 4Ч 11)/(3Ч 2 + 4Ч 8) или 53/38. Следуя этому правилу, находим первые семь подходящих дробей: 1/1, 3/2, 11/8, 53/38, 309/222, 2119/1522 и 16687/11986. Запишем их в виде десятичных дробей (с шестью знаками после запятой): 1,000000; 1,500000; 1,375000; 1,397368; 1,391892; 1,392247 и 1,392208. Значением нашей непрерывной дроби будет число x , первые цифры которого 1,3922. Подходящие дроби являются лучшим приближением числа x . Причем они поочередно оказываются то меньше, то больше числа x (нечетные – больше x , а четные – меньше).

Чтобы представить отношение двух положительных целых чисел в виде конечной непрерывной дроби, нужно воспользоваться методом нахождения наибольшего общего делителя. Например, возьмем отношение 50/11. Так как 50 = 4Ч 11 + 6 или 11/50 = 1/(4 + 6/11), и, аналогично, 6/11 = 1/(1 + 5/6) или 5/6 = 1/(1 + 1/5), получаем:

Непрерывные дроби используются для приближения иррациональных чисел рациональными. Предположим, что x – иррациональное число (т.е. непредставимо в виде отношения двух целых чисел). Тогда, если n 0 – наибольшее целое число, которое меньше x , то x = n 0 + (x – n 0), где x – n 0 – положительное число меньше 1, поэтому обратное ему число x 1 больше 1 и x = n 0 + 1/x 1 . Если n 1 – наибольшее целое число, которое меньше x 1 , то x 1 = n 1 + (x 1 – n 1), где x 1 – n 1 – положительное число, которое меньше 1, поэтому обратное ему число x 2 больше 1, и x 1 = n 1 + 1/x 2 . Если n 2 – наибольшее целое число, которое меньше x 2 , то x 2 = n 2 + 1/x 3 , где x 3 больше 1, и т.д. В результате мы шаг за шагом находим последовательность неполных частных n 0 , 1/n 1 , 1/n 2 ,... непрерывной дроби, являющихся приближениями x .

Поясним сказанное на примере. Предположим, что , тогда

Первые 6 подходящих дробей равны 1/1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, 99/70. Записанные в виде десятичных дробей они дают следующие приближенные значения : 1,000; 1,500; 1,400; 1,417; 1,4137; 1,41428. Непрерывная дробь для имеет неполные частные 1, 1/1, 1/2, 1/1, 1/2, 1/1,.... Иррациональное число является корнем квадратного уравнения с целочисленными коэффициентами в том и только в том случае, если неполные частные его разложения в непрерывную дробь периодичны.

Непрерывные дроби тесно связны со многими разделами математики, например с теорией функций, расходящимися рядами, проблемой моментов, дифференциальными уравнениями и бесконечными матрицами. Если x – радианная мера острого угла, то тангенс угла x x /1, - x 2 /3, - x 2 /7, - x 2 /9, ..., а если x – положительное число, то натуральный логарифм от 1 + x равен значению непрерывной дроби с неполными частными 0, x /1, 1 2 x /2, 1 2 x /3, 2 2 x /4, 2 2 x /5, 3 2 x /6,... . Формальным решением дифференциального уравнения x 2 dy /dx + y = 1 + x в виде степенного ряда является расходящийся степенной ряд 1 + x – 1!x 2 + 2!x 3 – 3!x 4 +.... Этот степенной ряд можно преобразовать в непрерывную дробь с неполными частными 1, x /1, x /1, 2x /1, 2x /1, 3x /1, 3x /1,..., а ее в свою очередь использовать для получения решения дифференциального уравнения x 2 dy /dx + y = 1 + x .

НЕПРЕРЫВНЫЕ ДРОБИ

Последовательность, каждый член которой является обычной дробью, порождает непрерывную (или цепную) дробь, если ее второй член прибавить к первому, а каждую дробь, начиная с третьей, прибавить к знаменателю предыдущей дроби. Например, последовательность 1, 1/2, 2/3, 3/4, ..., n/(n + 1), ... порождает непрерывную дробь

где многоточие в конце указывает на то, что процесс продолжается бесконечно. В свою очередь непрерывная дробь порождает другую последовательность дробей, называемых подходящими. В нашем примере первая, вторая, третья и четвертая подходящие дроби равны

Их можно построить по простому правилу из последовательности неполных частных 1, 1/2, 2/3, 3/4, ... . Прежде всего выпишем первую и вторую подходящие дроби 1/1 и 3/2. Третья подходящая дробь равна (2?1 + 3?3)/(2?1 + 3?2) или 11/8, ее числитель равен сумме произведений числителей первой и второй подходящих дробей, умноженных соответственно на числитель и знаменатель третьего неполного частного, а знаменатель равен сумме произведений знаменателей первого и второго неполных частных, умноженных соответственно на числитель и знаменатель третьего неполного частного. Четвертая подходящая дробь получается аналогично из четвертого неполного частного 3/4 и второй и третьей подходящих дробей: (3?3 + 4?11)/(3?2 + 4?8) или 53/38. Следуя этому правилу, находим первые семь подходящих дробей: 1/1, 3/2, 11/8, 53/38, 309/222, 2119/1522 и 16687/11986. Запишем их в виде десятичных дробей (с шестью знаками после запятой): 1,000000; 1,500000; 1,375000; 1,397368; 1,391892; 1,392247 и 1,392208. Значением нашей непрерывной дроби будет число x, первые цифры которого 1,3922. Подходящие дроби являются лучшим приближением числа x. Причем они поочередно оказываются то меньше, то больше числа x (нечетные - больше x, а четные - меньше).

Чтобы представить отношение двух положительных целых чисел в виде конечной непрерывной дроби, нужно воспользоваться методом нахождения наибольшего общего делителя. Например, возьмем отношение 50/11. Так как 50 = 4?11 + 6 или 11/50 = 1/(4 + 6/11), и, аналогично, 6/11 = 1/(1 + 5/6) или 5/6 = 1/(1 + 1/5), получаем:

Непрерывные дроби используются для приближения иррациональных чисел рациональными. Предположим, что x - иррациональное число (т.е. непредставимо в виде отношения двух целых чисел). Тогда, если n0 - наибольшее целое число, которое меньше x, то x = n0 + (x - n0), где x - n0 - положительное число меньше 1, поэтому обратное ему число x1 больше 1 и x = n0 + 1/x1. Если n1 - наибольшее целое число, которое меньше x1, то x1 = n1 + (x1 - n1), где x1 - n1 - положительное число, которое меньше 1, поэтому обратное ему число x2 больше 1, и x1 = n1 + 1/x2. Если n2 - наибольшее целое число, которое меньше x2, то x2 = n2 + 1/x3, где x3 больше 1, и т.д. В результате мы шаг за шагом находим последовательность неполных частных n0, 1/n1, 1/n2, ... непрерывной дроби, являющихся приближениями x.

Поясним сказанное на примере. Предположим, что тогда

Первые 6 подходящих дробей равны 1/1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, 99/70. Записанные в виде десятичных дробей они дают следующие приближенные значения: 1,000; 1,500; 1,400; 1,417; 1,4137; 1,41428. Непрерывная дробь для имеет неполные частные 1, 1/1, 1/2, 1/1, 1/2, 1/1, ... . Иррациональное число является корнем квадратного уравнения с целочисленными коэффициентами в том и только в том случае, если неполные частные его разложения в непрерывную дробь периодичны.

Непрерывные дроби тесно связны со многими разделами математики, например с теорией функций, расходящимися рядами, проблемой моментов, дифференциальными уравнениями и бесконечными матрицами. Если x - радианная мера острого угла, то тангенс угла x равен значению непрерывной дроби с неполными частными 0, x/1, ?x2/3, ?x2/7, ?x2/9, ..., а если x - положительное число, то натуральный логарифм от 1 + x равен значению непрерывной дроби с неполными частными 0, x/1, 12x/2, 12x/3, 22x/4, 22x/5, 32x/6, ... . Формальным решением дифференциального уравнения x2dy/dx + y = 1 + x в виде степенного ряда является расходящийся степенной ряд 1 + x - 1!x2 + 2!x3 - 3!x4 + ... . Этот степенной ряд можно преобразовать в непрерывную дробь с неполными частными 1, x/1, x/1, 2x/1, 2x/1, 3x/1, 3x/1, ..., а ее в свою очередь использовать для получения решения дифференциального уравнения x2dy/dx + y = 1 + x.

Кольер. Словарь Кольера. 2012

Смотрите еще толкования, синонимы, значения слова и что такое НЕПРЕРЫВНЫЕ ДРОБИ в русском языке в словарях, энциклопедиях и справочниках:

• ДРОБЬ
  Если делится какое-нибудь целое число а на другое целое число b, т. е. ищется число x, удовлетворяющее условию bx=а, то …
• ОСТРОВ КАУАИ в Справочнике Чудес, необычных явлений, НЛО и прочего:
  самое сырое место на Земле, расположенное в Гавайском архипелаге в Тихом океане, где идут практически непрерывные ливневые дожди. Среднегодовое количество …
• СТАЛКЕР (ФИЛЬМ) в Цитатнике Wiki.
• РОССИЯ, РАЗД. МАТЕМАТИКА в Краткой биографической энциклопедии:
  Рпоха письменных памятников застает в России употребление десятичной системы счисления в пределах 1 - 10000 (тьма) и дробей двоичной системы …
• ДРОБЬ в Большом энциклопедическом словаре:
  
• ЯКОБИАН
  функциональный определитель -aik-1n с элементами, где yi fi (X1 , ... , Xn), l £ i £ …
• ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ (МАТЕМАТ.) в Большой советской энциклопедии, БСЭ:
  анализ, часть современной математики, главной задачей которой является изучение бесконечномерных пространств и их отображений. Наиболее изучены линейные пространства и линейные …
• ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ в Большой советской энциклопедии, БСЭ:
  уравнения, весьма общий класс уравнений, в которых искомой является некоторая функция. К Ф. у. по существу относятся дифференциальные уравнения, …
• УРОВНИ ЭНЕРГИИ в Большой советской энциклопедии, БСЭ:
  энергии, возможные значения энергии квантовых систем, т. е. систем, состоящих из микрочастиц (электронов, протонов и др. элементарных частиц, атомных ядер, …
• ТОПОЛОГИЯ в Большой советской энциклопедии, БСЭ:
  (от греч. tоpos - место и - логия) - часть геометрии, посвященная изучению феномена непрерывности (выражающегося, например, в понятии …
• ТЕРМОДИНАМИКА НЕРАВНОВЕСНЫХ ПРОЦЕССОВ в Большой советской энциклопедии, БСЭ:
  неравновесных процессов, общая теория макроскопического описания неравновесных процессов. Она называется также неравновесной термодинамикой или термодинамикой необратимых процессов. Классическая термодинамика …
• ТЕРМИЧЕСКАЯ ПЕЧЬ в Большой советской энциклопедии, БСЭ:
  печь, промышленная печь для проведения различных операций термической или химико-термической обработки металлических изделий. Т. п. классифицируют по методу работы: периодические …
• СССР. ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ в Большой советской энциклопедии, БСЭ:
  науки Авиационная наука и техника В дореволюционной России был построен ряд самолётов оригинальной конструкции. Свои самолёты создали (1909-1914) Я. М. …
• РАЦИОНАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ в Большой советской энциклопедии, БСЭ:
  функция, функция, получающаяся в результате конечного числа арифметических операций (сложения, умножения и деления) над переменным х и произвольными числами. Р. …
• ПРОКАТНЫЙ СТАН в Большой советской энциклопедии, БСЭ:
  стан, машина для обработки давлением металла и др. материалов между вращающимися валками, т. е. для осуществления процесса прокатки, в …
• ПОЛИМЕРЫ в Большой советской энциклопедии, БСЭ:
  (от греч. polymeres - состоящий из многих частей, многообразный), химические соединения с высокой молекулярной массой (от нескольких тысяч до многих …
• ПЕРИОДИЧЕСКАЯ ДРОБЬ в Большой советской энциклопедии, БСЭ:
  дробь, бесконечная десятичная дробь, в которой, начиная с некоторого места, стоит только периодически повторяющаяся определённая группа цифр. Например, 1,3181818...; короче …
• НЕПРЕРЫВНАЯ ДРОБЬ в Большой советской энциклопедии, БСЭ:
  дробь, цепная дробь, один из важнейших способов представления чисел и функций. Н. д. есть выражение вида где a 0 - …
• НЕПРЕРЫВНАЯ ГРУППА в Большой советской энциклопедии, БСЭ:
  группа, математическое понятие, как и понятие обыкновенной группы, возникающее при рассмотрении преобразований. Пусть М - множество элементов х какого-либо …
• МАРОККО в Большой советской энциклопедии, БСЭ:
  Королевство Марокко (араб. - Аль-Мамляка аль-Магрибия, или Магриб аль-Акса, буквально - дальний запад). I. Общие сведения М. - государство на …
• ЛИНИЯ (ГЕОМЕТРИЧ. ПОНЯТИЕ) в Большой советской энциклопедии, БСЭ:
  (от лат. linea), геометрическое понятие, точное и в то же время достаточно общее определение которого представляет значительные трудности и осуществляется …
• КОЛИЧЕСТВО в Большой советской энциклопедии, БСЭ:
  категория, выражающая внешнее, формальное взаимоотношение предметов или их частей, а также свойств, связей: их величину, число, степень проявления того или …
• КИБЕРНЕТИКА в Большой советской энциклопедии, БСЭ:
  (от греч. kybernetike - искусство управления, от kybernao - правлю рулём, управляю), наука об управлении, связи и переработке информации. …
• ЗОЛОТЫЕ СПЛАВЫ в Большой советской энциклопедии, БСЭ:
  сплавы, сплавы, важнейшим компонентом которых является золото (Au). Сплавление Au с др. металлами (лигатурами) имеет целью повышение прочности …
• ЗАГОТОВОЧНЫЙ СТАН в Большой советской энциклопедии, БСЭ:
  стан, прокатный стан, предназначенный для прокатки блюмов или слитков в заготовки квадратного или круглого сечения с целью их последующей обработки …
• ДРОБОВОЕ БУРЕНИЕ в Большой советской энциклопедии, БСЭ:
  бурение, вид вращательного бурения с применением дроби в качестве истирающего материала. Предложено в США в 1899 для проходки скважин в …
• ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ ЧИСЛО в Большой советской энциклопедии, БСЭ:
  число, вещественное число, любое положительное число, отрицательное число или нуль. Д. ч. разделяются на рациональные и иррациональные. Первые представимы как …
• ГЕОМЕТРИЯ в Большой советской энциклопедии, БСЭ:
  (греч. geometria, от ge - Земля и metreo - мерю), раздел математики, изучающий пространственные отношения и формы, а также другие …
• ТОРМОЗ
• РУЧНОЕ ОГНЕСТРЕЛЬНОЕ ОРУЖИЕ в Энциклопедическом словаре Брокгауза и Евфрона:
  характеризуется тем, что требует для боевого употребления усилий только одного человека. Первообраз (XIII, XIV столетия) его — ручная бомбарда (bomba …
• РОССИЯ. РУССКАЯ НАУКА: МАТЕМАТИКА в Энциклопедическом словаре Брокгауза и Евфрона:
  Эпоха письменных памятников застает в России употребление десятичной системы счисления в пределах 1—10000 (тьма) и дробей двоичной системы вместе с …
• РАСТВОРЫ в Энциклопедическом словаре Брокгауза и Евфрона.
• ПРИСТРЕЛКА ОХОТНИЧЬЕГО РУЖЬЯ в Энциклопедическом словаре Брокгауза и Евфрона:
  имеет задачей как изучение боя его, так и определение границ кучности, резкости и дальности боя различными номерами дроби. Бой каждого …
• ПЕРЕДВИЖЕНИЕ ОРГАНОВ РАСТЕНИЙ в Энциклопедическом словаре Брокгауза и Евфрона.
• МАТЕМАТИКА в Энциклопедическом словаре Брокгауза и Евфрона:
  Слово "математика" происходит от греческого?????? (наука, учение), в свою очередь происходящего, вместе с имеющим одно с ним значение словом …
• КОСТИ в Энциклопедическом словаре Брокгауза и Евфрона:
  твердые части, соединение которых составляет скелет или остов тела позвоночных и которые характеризуются большой твердостью, значительным содержанием минеральных веществ и …
• ДРОБЬ ДЛЯ СТРЕЛЬБЫ в Энциклопедическом словаре Брокгауза и Евфрона.
• ЦИФРОВОЕ в Большом российском энциклопедическом словаре:
  ЦИФРОВ́ОЕ ТЕЛЕВИДЕНИЕ, система телевизионного вещания, в к-рой непрерывные во времени телевиз. сигналы при передаче преобразуются в дискретные и передаются …
• ТОРМОЗ*
• РУЧНОЕ ОГНЕСТРЕЛЬНОЕ ОРУЖИЕ *
  ? характеризуется тем, что требует для боевого употребления усилий только одного человека. Первообраз (XIII, XIV столетия) его? ручная бомбарда …
• РАСТВОРЫ* в Энциклопедии Брокгауза и Ефрона.
• ПРИСТРЕЛКА ОХОТНИЧЬЕГО РУЖЬЯ в Энциклопедии Брокгауза и Ефрона:
  ? имеет задачей как изучение боя его, так и определение границ кучности, резкости и дальности боя различными номерами дроби. Бой …
• ПЕРЕДВИЖЕНИЕ ОРГАНОВ РАСТЕНИЙ* в Энциклопедии Брокгауза и Ефрона.
• МУКОМОЛЬНОЕ ПРОИЗВОДСТВО* в Энциклопедии Брокгауза и Ефрона.
• МАТЕМАТИКА в Энциклопедии Брокгауза и Ефрона:
  ? Слово "математика" происходит от греческого?????? (наука, учение), в свою очередь происходящего, вместе с имеющим одно с ним значение …
• КОСТИ в Энциклопедии Брокгауза и Ефрона:
  ? твердые части, соединение которых составляет скелет или остов тела позвоночных и которые характеризуются большой твердостью, значительным содержанием минеральных веществ …
• ЦИФРЫ И СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ: ОБОЗНАЧЕНИЯ ЧИСЕЛ в Словаре Кольера:
  К статье ЦИФРЫ И СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ Древний Египет. Расшифровка системы счисления, созданной в Египте во времена первой династии (ок. 2850 …
• ФУНКЦИЙ ТЕОРИЯ: ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО в Словаре Кольера:
  К статье ФУНКЦИЙ ТЕОРИЯ Функции, используемые в элементарном анализе, задаются формулами. Их графики обычно можно начертить, не отрывая карандаш от …
• ДЕРЕВО: ОСНОВНЫЕ ЧАСТИ ДЕРЕВА в Словаре Кольера:
  К статье ДЕРЕВО Деревья, за исключением древовидных папоротников, - семенные растения, состоящие из корней, стебля, листьев и репродуктивных (половых) органов, …

дроби"тельный, дроби"тельная, дроби"тельное, дроби"тельные, дроби"тельного, дроби"тельной, дроби"тельного, дроби"тельных, дроби"тельному, дроби"тельной, дроби"тельному, дроби"тельным, дроби"тельный, дроби"тельную, дроби"тельное, дроби"тельные, дроби"тельного, дроби"тельную, дроби"тельное, дроби"тельных, …
• ДРОБИНКА в Полной акцентуированной парадигме по Зализняку:
  дроби"нка, дроби"нки, дроби"нки, дроби"нок, дроби"нке, дроби"нкам, дроби"нку, дроби"нки, дроби"нкой, дроби"нкою, дроби"нками, дроби"нке, …
• ДРОБИНА в Полной акцентуированной парадигме по Зализняку:
  дроби"на, дроби"ны, дроби"ны, дроби"н, дроби"не, дроби"нам, дроби"ну, дроби"ны, дроби"ной, дроби"ною, дроби"нами, дроби"не, …
• ДРОБИЛЬЩИК в Полной акцентуированной парадигме по Зализняку:
  дроби"льщик, дроби"льщики, дроби"льщика, дроби"льщиков, дроби"льщику, дроби"льщикам, дроби"льщика, дроби"льщиков, дроби"льщиком, дроби"льщиками, дроби"льщике, …
• ДРОБИЛЬНЫЙ в Полной акцентуированной парадигме по Зализняку:
  дроби"льный, дроби"льная, дроби"льное, дроби"льные, дроби"льного, дроби"льной, дроби"льного, дроби"льных, дроби"льному, дроби"льной, дроби"льному, дроби"льным, дроби"льный, дроби"льную, дроби"льное, дроби"льные, дроби"льного, дроби"льную, дроби"льное, дроби"льных, …
• ДРОБИЛО в Полной акцентуированной парадигме по Зализняку:
  дроби"ло, дроби"ла, дроби"ла, дроби"л, дроби"лу, дроби"лам, дроби"ло, дроби"ла, дроби"лом, дроби"лами, дроби"ле, …
• ДРОБИЛКА в Полной акцентуированной парадигме по Зализняку:
  дроби"лка, дроби"лки, дроби"лки, дроби"лок, дроби"лке, дроби"лкам, дроби"лку, дроби"лки, дроби"лкой, дроби"лкою, дроби"лками, дроби"лке, …
• ДРОБЬ в Современном толковом словаре, БСЭ:
  в арифметике - число составленное из целого числа долей единицы. Дробь выражается отношением двух целых чисел m/n, где n - …
• НЕПРЕРЫВНЫЙ в Толковом словаре русского языка Ушакова:
  непрерывная, непрерывное; непрерывен, непрерывна, непрерывно. 1. Не имеющий перерывов, промелсутков, тянущийся сплошным рядом, линией. Непрерывная цепь. Непрерывный ряд. Непрерывный поток. …