Решение линейного неравенства онлайн с решением. Решение систем линейных неравенств графически. Решение квадратных неравенств

Схема на рисунке 5:

И следующий пример: Решить неравенство 0,6 2х – 3 < 0,36 .

Cледуя схеме на рисунке 5, получаем
2х – 3 > log 0,6 0,36 ,
2х – 3 > 2,
2х > 5,
х > 2,5

Ответ: (2,5; +∞) .

Рассмотрим последнюю схему решения неравенства вида а f (x) < b , при a>0 и b<0 , представленную на рисунке 6:

Например, решим неравенство:

Замечаем, что какое бы число мы не подставили вместо х, левая часть неравенства всегда больше нуля, а у нас это выражение меньше -8, т.е. и нуля, значит решений нет.

Ответ: решений нет .

Зная как решаются простейшие показательные неравенства, можно приступить и к решению показательных неравенств .

Пример 1.

Найти наибольшее целое значение х, удовлетворяющее неравеству

Так как 6 х больше нуля (ни при каком х знаменатель в ноль не обращается), умножим обе части неравенства на 6 х, получим:

440 – 2· 6 2х > 8, тогда
– 2· 6 2х > 8 – 440,
– 2· 6 2х > – 332,
6 2х < 216,
2х < 3,

x < 1,5. Наибольшее целое число из помежутка (–∞; 1,5) это число 1.

Ответ: 1 .

Пример 2 .

Решить неравенство 2 2 x – 3·2 x + 2 ≤ 0

Обозначим 2 х через у, получим неравенство у 2 – 3у + 2 ≤ 0, решим это квадратное неравенство.

у 2 – 3у +2 = 0,
у 1 = 1 и у 2 = 2.

Ветви параболы направлены вверх, изобразим график:

Тогда решением неравенства будет неравенство 1 < у < 2, вернемся к нашей переменной х и получим неравенство 1< 2 х < 2, решая которое и найдем ответ 0 < x < 1.

Ответ: (0; 1) .

Пример 3 . Решите неравенство 5 x +1 – 3 x +2 < 2·5 x – 2·3 x –1
Соберем выражения с одинаковыми основаниями в одной части неравенства

5 x +1 – 2·5 x < 3 x +2 – 2·3 x –1

Вынесем в левой части неравенства за скобки 5 x , а в правой части неравенства 3 х и получим неравенство

5 х (5 – 2) < 3 х (9 – 2/3),
3·5 х < (25/3)·3 х

Разделим обе части неравенства на выражение 3·3 х, знак неравенства не изменится, так как 3·3 х положительное число, получим неравенство:

х < 2 (так как 5/3 > 1).

Ответ: (–∞; 2) .

Если у вас возникнут вопросы по решению показательных неравенств или вы захотите попрактиковаться в решении подобных примеров, записывайтесь ко мне на уроки. Репетитор Валентина Галиневская .

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

В статье рассмотрим решение неравенств . Расскажем доступно о том, как строиться решение неравенств , на понятных примерах!

Перед тем, как рассмотреть решение неравенств на примерах, разберемся с базовыми понятиями.

Общи сведения о неравенствах

Неравенством называется выражение, в котором функции соединяются знаками отношения >, . Неравенства бывают как числовые, так и буквенные.
Неравенства с двумя знаками отношения, называются двойными, с тремя - тройными и т.д. Например:
a(x) > b(x),
a(x) a(x) b(x),
a(x) b(x).
a(x) Неравенства, содержащие знак > или или - нестрогими.
Решением неравенства является любое значение переменой, при котором это неравенство будет верно.
"Решить неравенство " означает, что надо найти множество всех его решений. Существуют различные методы решения неравенств . Для решения неравенства пользуются числовой прямой, которая бесконечна. Например, решением неравенства x > 3 есть промежуток от 3 до +, причем число 3 не входит в этот промежуток, поэтому точка на прямой обозначается пустым кружком, т.к. неравенство строгое.
+
Ответ будет следующим: x (3; +).
Значение х=3 не входит в множество решений, поэтому скобка круглая. Знак бесконечности всегда выделяется круглой скобкой. Знак означает «принадлежание».
Рассмотрим как решать неравенства на другом примере со знаком :
x 2
-+
Значение х=2 входит в множество решений, поэтому скобка квадратная и точка на прямой обозначается закрашенным кружком.
Ответ будет следующим: x . График множества решений изображён ниже.

Двойные неравенства

Когда два неравенства соединены словом и , или , тогда формируется двойное неравенство . Двойное неравенство, как
-3 и 2x + 5 ≤ 7
называется соединённым , потому что в нём использовано и . Запись -3 Двойные неравенства могут быть решены с использованием принципов прибавления и умножения неравенств.

Пример 2 Решите -3 Решение У нас есть

Множество решений {x|x ≤ -1 или x > 3}. Мы можем также написать решение с использованием обозначения интервала и символ для объединения или включения обоих множеств: (-∞ -1] (3, ∞). График множества решений изображен ниже.

Для проверки, нарисуем y 1 = 2x - 5, y 2 = -7, и y 3 = 1. Заметьте, что для {x|x ≤ -1 или x > 3}, y 1 ≤ y 2 или y 1 > y 3 .

Неравенства с абсолютным значением (модулем)

Неравенства иногда содержат модули. Следующие свойства используются для их решения.
Для а > 0 и алгебраического выражения x:
|x| |x| > a эквивалентно x или x > a.
Подобные утверждения и для |x| ≤ a и |x| ≥ a.

Например,
|x| |y| ≥ 1 эквивалентно y ≤ -1 или y ≥ 1;
и |2x + 3| ≤ 4 эквивалентно -4 ≤ 2x + 3 ≤ 4.

Пример 4 Решите каждое из следующих неравенств. Постройте график множества решений.
a) |3x + 2| b) |5 - 2x| ≥ 1

Решение
a) |3x + 2|